Экономико-математическое моделирование сельскохозяйственной деятельности в условиях риска

Линейное программирование широко используется в качестве метода определения дохода, который максимизирует сельскохозяйственное предприятие, рассматривающее какие-либо проекты возделывания культур при линейных ограничениях на различные ресурсы, такие как затраты рабочего времени, площадь земли, отводимой под сельскохозяйственные культуры и т.д. (см., например, [4], [9], [13]). Однако в подобных экономико-математических моделях учитываются только факторы, не связанные с риском, а в сельскохозяйственной деятельности велика возможность влияния на оптимальное значение целевой функции риска изменения прогнозных значений различных показателей, в том числе, общего дохода от возделывания сельскохозяйственных культур. Игнорирование наличия условий риска может привести к некорректному сельскохозяйственному планированию, в частности, к принятию неоптимального сельскохозяйственного плана (с/х-плана).

Для учета риска изменения значений общего дохода можно использовать методы решения оптимизационных задач, в которых целевая функция является квадратичной, однако в качестве более простого способа можно предложить линейную альтернативу, что и будет продемонстрировано в данной статье.

Стандартная модель квадратичного программирования для учета риска предполагает анализ значений ожидаемого общего дохода и его стандартного или среднеквадратичного отклонения (СКО) (см., например, [3]). Заметим, что квадратичное программирование обычно опирается на анализ временных рядов, что может существенно затруднить процесс вычислений, поэтому предлагается альтернативный критерий абсолютного отклонения (АО) ожидаемого (общего) дохода. Этот критерий приводит к модели параметрического линейного программирования, которая решается в данной статье; здесь же обсуждаются условия для непосредственного соотношения между дисперсией и АО, согласно которым АО может в действительности рассматриваться как приемлемая замена СКО в эффективной разработке сельскохозяйственных планов [13, 14, 15].

Рассмотрим сначала задачу квадратичного программирования, а затем перейдем к ее линейной альтернативе.

Пусть  и  — значения ожидаемого общего дохода и его стандартного отклонения (риска) соответственно, которые являются основой для выбора предпочтений фермеров среди различных с/х-планов.

Целью решения задачи квадратичного программирования является определение эффективного множества с/х-планов, при которых риск является минимальным при заданном уровне ожидаемого общего дохода.

Задача квадратичного программирования в терминах дохода от сельскохозяйственной деятельности может быть записана следующим образом:

       (1)

                                  (2)

                                     (3)

                                             (4)

где x_j – уровень j-го вида сельскохозяйственной деятельности, µ_j – ожидаемый (прогнозируемый) доход от j-го вида деятельности, – стандартное отклонение дохода,  – ковариация между доходом от j-го и k-го вида деятельности, a_ij
– количество единиц i-ого ресурса, необходимое для функционирования j-ого вида деятельности, b_i — максимальное количество единиц i-ого ресурса, n – количество видов деятельности, m – количество видов ресурсов,  — параметр (переменное ограничение на ожидаемое значение общего дохода).

Определив множество эффективных с/х-планов, мы можем выбирать наиболее приемлемые из них с точки зрения фермеров — это будет зависеть от предпочтений фермеров относительно различных значений ожидаемого дохода и соответствующего уровня стандартного отклонения, которые описываются функцией полезности. Выразив в явном виде функцию полезности, можно точно определить единственный с/х-план, который соответствует наивысшей полезности фермера.

Для решения задачи квадратичного программирования (1)-(4) необходимо получить оценки значений среднего дохода от каждого вида сельскохозяйственной деятельности и соответствующих значений стандартного отклонения и ковариации с использованием временных рядов или многомерных статистических данных о наблюдаемых значениях общего дохода. Для того, чтобы проиллюстрировать стандартную процедуру оценивания, переформулируем выражение (1) следующим образом:

                    (5)

где T – количество наблюдений в случайной выборке значений общего  дохода, а   — выборочное среднее значений дохода от каждого вида деятельности, которое может отличаться от  прогнозируемого значения, если для определения этих показателей используется субъективная информация. Оцененное значение дисперсии получается как

                                                                                                                         (6)

Выражение   — это общий доход, получаемый по определенному с/х-плану, оцененный с помощью наблюдаемых значений дохода для t-го наблюдения, а — это общий доход, получаемый по тому же самому с/х-плану, оцененный с помощью выборочных средний значений дохода. Дисперсия дохода может быть, следовательно, вычислена с помощью выборочных данных либо косвенно, с использованием распределения дохода от отдельных видов деятельности (выражение (5)), либо непосредственно из выражения (6).

Критерий «ожидаемый доход/стандартное отклонение» привлекателен, в частности, для исследований в области сельскохозяйственного управления, поскольку он согласуется с положениями теории вероятностей в части вероятности получения разного уровня доходов по данному с/х-плану, а общая  дисперсия  полностью определяется отдельными коэффициентами дисперсия/ковариация, и если доступны субъективные значения этих параметров, дисперсию можно легко определить по выборке из наблюдаемых значений общего дохода, т.е. применимо выражение (1), и нет необходимости связывать его непосредственно с выражениями (5) или (6).

Однако этот критерий сложно применять при решении задачи квадратичного программирования с параметром в правой части, поэтому предлагается использование альтернативного критерия «ожидаемого дохода/абсолютного отклонения» ( -критерий), который позволит сократить трудозатраты при расчетах.

Предполагая, что доступны те же данные, что и для выражения (6), абсолютное отклонение дохода можно определить следующим образом:

                                                                                                                                  (7)

Использование µ/α-критерия при определении эффективных с/х-планов приводит к задаче линейного программирования, что объясняет его преимущество по сравнению с µ/σ-критерием. Для того, чтобы это показать, заметим, что в уравнении (7) выражение 1/T является константой, и, следовательно, достаточно минимизировать sα при ограничениях (2), (3) и (4). Введем дополнительные обозначения для сокращения количества переменных:

такие, что

т.е. y_t, t = 1…T могут иметь любой знак. Тогда, если устанавливаются на некотором минимальном уровне так, что один из них равен нулю, то .

Но мы можем сделать  это одновременно с нахождением оптимального плана x_j, j = 1…n, решая следующую задачу линейного программирования:

  (8)

                                     (9)

                                                        (10)

                                                            (11)

                                               (12)

Далее, для конкретного с/х-плана , если выражение  больше нуля, и   в противном случае.

Таким образом, выражение  — это сумма абсолютных значений положительных отклонений общего дохода от ожидаемой доходности его выборочных значений. Все вышесказанное относится и к отрицательным значениям . Из этого следует, что если  , является выборочным средним значением дохода, то выражение  должно быть в точности равно выражению . Это предполагает альтернативную формулировку модели, основанную на минимизации только суммы абсолютных значений отрицательных отклонений общего дохода:

                       (13)

         (14)

                       (15)

                    (16)

                       (17)

Используя стандартные методы, применяемые для решения задач с параметром в правой части (см, например, [2]), мы получим множество эффективных с/х-планов.

         Продемонстрируем решение задачи линейного программирования на следующем условном примере четырех видов сельскохозяйственной деятельности: возделывание моркови (площадь земли, отводимой под возделывание, примем за x₁), сельдерея (площадь земли, отводимой под возделывание, примем за x₂), свеклы (площадь земли, отводимой под возделывание, примем за x₃) и редьки (площадь земли, отводимой под возделывание, примем за x₄). В качестве ограничений будем рассматривать общую площадь земли в гектарах (b₁), затраты рабочего времени в часах (b₂) и меняющийся спрос на рынке сбыта (b₃). Предположим, матрица A и вектор правых частей b выглядят следующим образом:

Ограничение b₃ предполагает, что общая площадь, отводимая под сельдерей и редьку, должна быть не больше общей площади, отводимой под морковь и свеклу.

Предположим, что имеются данные о доходе, полученном от возделывания культур за 6 лет (табл.1).

Таблица 1. Доход, полученный от выращивания культур (тыс.руб/га).

На основе имеющихся исходных данных можно сформулировать следующую задачу линейного программирования с параметром в правой части:

 Заметим, что коэффициенты при переменных x_j в ограничениях (19-24) представляют собой отклонения дохода от его среднего значения. Изменяя значения параметра, мы можем получить оптимальный с/х-план возделывания культур.

Результаты решения задачи (18)-(29) представлены в табл.2.

Таблица 2. Результаты решения задачи линейного программирования при различных значениях ожидаемого значения общего дохода.

Таким образом, для того чтобы при данных значениях ожидаемого значения общего дохода добиться минимального риска, необходимо отводить под сельскохозяйственные культуры площади, размеры которых получены при решении задачи.

Все представленные соотношения могут выполняться в том случае, если генеральная совокупность возможных доходов по с/х-планам обладает нормальным распределением, и если оценки σ и α основаны только на выборочных данных, однако, такие требования не являются невыполнимыми на практике. Сельское хозяйство включает в себя достаточное количество видов деятельности для выполнения условия нормальности распределения. Следовательно, представленная модель может являться привлекательной вычислительной процедурой для нахождения эффективных с/х-планов, так как она приводит к гораздо меньшим проблемам при расчетах, осуществляемых крупными сельскохозяйственными комплексами, а предложенный критерий является полезным с точки зрения принятия решений менеджерами в области сельскохозяйственной деятельности.